Auswahlaxiom

Sei ${\displaystyle A}$ eine Menge nichtleerer Mengen. Dann heißt

${\displaystyle F:A\to \bigcup _{X\in A}X}$

eine Auswahlfunktion für ${\displaystyle A}$, falls zu jedem Element ${\displaystyle X\in A}$ ein Element ${\displaystyle F(X)\in X}$ zugeordnet wird. F wählt also aus jeder Menge ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle A}$ genau ein Element aus.

• Sei ${\displaystyle A=\{\{0,2\},\{1,2,5,7\},\{4\}\}}$. Die auf ${\displaystyle A}$ durch

${\displaystyle F(\{0,2\})=2,\quad F(\{1,2,5,7\})=2,\quad F(\{4\})=4}$

• definierte Funktion ${\displaystyle F}$ ist eine Auswahlfunktion für ${\displaystyle A}$.
• Für eine endliche Menge ${\displaystyle A=\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}}$ von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist. Man braucht das Auswahlaxiom hierfür nicht. Ein formaler Beweis würde Induktion über die Größe der endlichen Menge verwenden.
• Für die Potenzmenge einer natürlichen Zahlen ist eine Auswahlfunktion ${\displaystyle F:{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\to \mathbb {N} }$ gegeben durch das Minimum der Menge, also ${\displaystyle F(X)=\min X}$. Die Existenz eines Minimums ist aufgrund der Wohlordnung der natürlichen Zahlen gegeben.
• Für die Menge beschränkter reeller Intervalle ist eine Auswahlaxiom gegeben, indem man auf den Mittelpunkt abbildet.

Im Allgemeinen ist es nicht möglich, zu jeder Menge einen Auswahlfunktion anzugeben. Für welche Fälle das Auswahlaxiom relevant ist, sei an den folgenden Beispielen verdeutlicht:

• Man kann schon für eine allgemeine abzählbare Menge von zweielementigen Mengen in ZF (nicht ZFC, d. h. ohne das Auswahlaxiom) nicht die Existenz einer Auswahlfunktion beweisen.
• Dasselbe gilt etwa für die Existenz einer Auswahlfunktion für die Menge aller nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen.

Das Auswahlaxiom lautet dann: Für jede Menge nichtleerer Mengen gibt es eine Auswahlfunktion. Äquivalente Formulierungen sind:

• Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion (Zermelo 1904).
• Sei ${\displaystyle A}$ eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen. Dann gibt es eine Menge ${\displaystyle C}$, die mit jedem ${\displaystyle X\in *A}$ genau ein gemeinsames Element hat (Zermelo 1907, ZF).
• Sei ${\displaystyle I}$ eine beliebige Indexmenge und ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ eine Familie von nichtleeren Mengen ${\displaystyle A_{i}}$, dann existiert eine Funktion ${\displaystyle F}$ mit Definitionsbereich ${\displaystyle I}$, die jedem ${\displaystyle i\in I}$ ein Element von ${\displaystyle A_{i}}$ zuordnet: ${\displaystyle F(i)\in A_{i}}$.

Gelegentlich werden auch Abschwächungen des Auswahlaxioms diskutiert. Häufig werden folgende zwei Axiome genannt:

• abzählbare Auswahlaxiom (CC, für countable Choice, auch bezeichnet mit AC_ω oder ACN), welches besagt, dass eine Auswahlfunktion existiert, wenn die Mengenfamilie abzählbar ist oder auch
• das Axiom der abhängigen Auswahl (DC, für dependent choice), welches eine Aussage über eine Relation, nicht mehr Funktion trifft.

Das Auswahlaxiom folgt, wie Wacław Sierpiński 1947 bewies, aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese.[9] Ebenso ist das von Gödel formulierte Konstruierbarkeitsaxiom stärker als das Auswahlaxiom.

Innerhalb von Klassentheorien, wie etwa die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre, lässt sich das Auswahlaxiom auch für Klassen ausdehnen.