Kreisspiegelung

Bild 1: Konstruktion des am Inversionskreis (rot) gespiegelten Bildpunktes ${\displaystyle P'}$ mit Zirkel und Lineal.

• Liegt ${\displaystyle P}$ auf dem gegebenen Kreis, so ist ${\displaystyle P'}$ gleich ${\displaystyle P}$.
• Falls der Punkt ${\displaystyle P}$ im Kreisinneren liegt (Bild 1), zeichnet man die zur Halbgeraden ${\displaystyle [MP}$ senkrechte Kreissehne durch ${\displaystyle P}$ und die beiden Kreistangenten in den Endpunkten dieser Sehne. ${\displaystyle P'}$ ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser Tangenten.
• Liegt der Punkt ${\displaystyle P}$ dagegen außerhalb des Kreises, so beginnt man mit den beiden Kreistangenten durch ${\displaystyle P}$ mithilfe des Thaleskreises. Anschließend bringt man die Verbindungsstrecke der beiden Berührpunkte mit der Halbgeraden ${\displaystyle [MP}$ zum Schnitt. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt ${\displaystyle P'}$.

Der Beweis, dass man so den Bildpunkt erhält, folgt direkt aus dem Kathetensatz.

Für die folgenden Konstruktionen nach Mascheroni gilt:

Das einzige Zeichenhilfsmittel, welches in diesem Abschnitte gebraucht werden darf, ist der Zirkel; nur das Schlagen von Kreisbogen ist erlaubt; es darf in der Konstruktion nicht eine einzige gerade Linie gezeichnet werden.[3]

• Die trotzdem eingezeichneten gestrichelten bzw. gepunkteten Linien haben keine konstruktive Funktion, sie dienen lediglich der Verdeutlichung und dem Beweis.

Bild 2: Der Urbildpunkt ${\displaystyle P}$ wird nur mit Hilfe eines Zirkels am Inversionskreis (rot) gespiegelt, es ergibt sich der Bildpunkt ${\displaystyle P'.}$

• Liegt der Punkt ${\displaystyle P}$ außerhalb des Inversionskreises (Bild 2), so zeichnet man um ${\displaystyle P}$ einen Kreis durch den Mittelpunkt des Inversionskreises. Dieser schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten. Zeichne auch um diese Punkte Kreise durch den Mittelpunkt. Diese beiden Kreise schneiden sich nun im Bildpunkt ${\displaystyle P'}$.

• Liegt ${\displaystyle P}$ auf dem Inversionskreis, so ist keine Konstruktion notwendig, es gilt ${\displaystyle P'=P.}$

• Liegt ${\displaystyle P}$ innerhalb des Inversionskreises, kann z. B. mithilfe einer Einteilung der möglichen Lagen des Punktes ${\displaystyle P}$ in drei Bereiche (Bild 3–5), eine deutliche Vereinfachung des Konstruktionsaufwandes für zwei Bereiche erreicht werden. Hierfür stellt man sich, quasi gedanklich, eine Kreisfläche (hellgrau) vor, deren Radius gleich ist dem halben Radius des Inversionskreises. Für die eigentliche Konstruktion ist die Kreisfläche (hellgrau) nicht erforderlich. Die drei Bereiche der möglichen Lage des Punktes ${\displaystyle P}$, meist gegeben als Abstand zum Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des Inverskreises, und die dafür möglichen Konstruktionsmethoden sind:

1. Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ (Bild 3) ist größer als der halbe Radius des Inversionskreises, d. h. ${\displaystyle |{\overline {MP}}|>{\frac {1}{2}}R.}$

Zuerst wird um den Punkt ${\displaystyle P}$ ein Kreis mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MP}}|}$ gezogen. Dieser schneidet den Inversionskreis in den Punkten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B.}$ Die abschließenden Kreise um ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit den Radien ${\displaystyle |{\overline {AM}}|}$ bzw. ${\displaystyle |{\overline {BM}}|}$ liefern den Bildpunkt ${\displaystyle P'.}$

2. Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ (Bild 4) ist gleich dem halben Radius des Inversionskreises, d. h. ${\displaystyle |{\overline {MP}}|={\frac {1}{2}}R.}$

Zuerst wird um den Punkt ${\displaystyle P}$ ein Kreis mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MP}}|}$ gezogen und anschließend, mittels dreimaligem Abtragen dieses Radius ab dem Punkt ${\displaystyle M}$, sein Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {MC}}|}$ bestimmt. Als Nächstes wird der letzte Kreis mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {MC}}|}$ um den Punkt ${\displaystyle C}$ gezogen. Abschließend bedarf es noch eines zweimaligen Abtragens dieses Radius, ab den soeben erzeugten Schnittpunkt ${\displaystyle D,}$ um den Bildpunkt ${\displaystyle P'}$ zu erhalten.

Bild 5: Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ ist kleiner als die Hälfte, aber größer als ein Achtel des Radius des Inversionskreises (rot), ${\displaystyle {\frac {1}{8}}R<|{\overline {MP}}|<{\frac {1}{2}}R.}$

Bild 4: Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ ist gleich dem halben Radius des Inversionskreises (rot),  ${\displaystyle |{\overline {MP}}|={\frac {1}{2}}R.}$

Bild 3: Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ ist größer als der halbe Radius des Inversionskreises (rot), ${\displaystyle |{\overline {MP}}|>{\frac {1}{2}}R.}$

3. Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ (Bild 5) ist kleiner als die Hälfte, aber größer als ein Achtel des Radius des Inversionskreises, d. h. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}R<|{\overline {MP}}|<{\frac {1}{2}}R.}$

Im nebenstehenden Bild 5, veranschaulicht die kleine Kreisfläche (rosa) ein Achtel des Radius des Inversionskreises. Für die eigentliche Konstruktion ist die Kreisfläche (rosa) nicht erforderlich. Dies gilt ebenso für die eingezeichneten gepunkteten Linien; sie sollen lediglich einen Vergleich mit der Konstruktion Mit Zirkel und Lineal verdeutlichen.

Zuerst wird um den Punkt ${\displaystyle P}$ ein Kreis mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MP}}|}$ gezogen und anschließend, durch ein dreimaliges Abtragen dieses Radius, sein Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {MC}}|}$ bestimmt. Es folgt ein Kreisbogen um ${\displaystyle C}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MC}}|,}$ auf dem, analog zuvor, der Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {MF}}|}$ erzeugt wird. Nun wird ein Kreisbogen um ${\displaystyle F}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MF}}|}$ gezogen, der den Inversionskreis in ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ schneidet. Je ein Kreisbogen um ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ mit den Radien ${\displaystyle |{\overline {MG}}|}$ bzw. ${\displaystyle |{\overline {MH}}|}$ schließen sich an und schneiden sich in ${\displaystyle I.}$ Um ${\displaystyle I}$ wird ein Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MI}}|}$ gezogen auf dem, analog zuvor, der Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {ML}}|}$ erzeugt wird. Als Nächstes wird der letzte Kreis mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {ML}}}$ um den Punkt ${\displaystyle L}$ gezogen. Abschließend bedarf es noch eines dreimaligen Abtragens dieses Radius, ab dem Punkt ${\displaystyle M}$ um den Bildpunkt ${\displaystyle P'}$ zu erhalten.

• Universelle Methode für Liegt ${\displaystyle P}$ innerhalb des Inversionskreises:

Zunächst halbiert man den Radius des Inversionskreises so oft, bis man einen neuen Kreis erhält, der den Punkt ${\displaystyle P}$ nicht mehr enthält. (Dies ist mit Zirkel allein möglich.) Anschließend konstruiert man wie oben (Bild 2) den Bildpunkt von ${\displaystyle P}$, wobei die Inversion am neuen Kreis durchgeführt wird. Zuletzt verdoppelt man den Abstand des Bildpunktes doppelt so oft wie man den Radius halbiert hat. (Auch dies ist mit Zirkel allein möglich.) Dieser Punkt ist der gesuchte Bildpunkt.

Auf Grund der Komplexität dieses Verfahrens wird man die Konstruktion wohl kaum durchführen, sie bietet aber eine Möglichkeit den Satz von Mohr-Mascheroni zu beweisen, der besagt, dass man mit Zirkel allein alle Konstruktionen durchführen kann, die mit Zirkel und Lineal möglich sind.

Aufgabe

(Siehe hierzu Bild 6)

Bild 6: Spiegelung einer Geraden, die (imaginäre)[4] Gerade ${\displaystyle g}$ (dunkelblau, definiert durch die Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$) ist am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ (rot) gespiegelt, um den Kreis ${\displaystyle g'}$ (hellgrün) zu erhalten.
Die gestrichelte Gerade (${\displaystyle g}$) und die gepunktete Linie haben keine konstruktive Funktion, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.
${\displaystyle |{\overline {OP}}|=|{\overline {PM'}}|}$;    ${\displaystyle |{\overline {OM}}|\cdot |{\overline {OM'}}|=|{\overline {OP}}|\cdot |{\overline {OP'}}|}$

Animation Bild 6:
Spiegelung einer Geraden in 15 Bildern

Geraden, die nicht durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen, werden auf Kreise abgebildet, die durch den Mittelpunkt gehen (siehe Eigenschaften).

Die (imaginäre)[4] Gerade ${\displaystyle g}$ (definiert durch die Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$) ist am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ zu spiegeln, um den Kreis ${\displaystyle g'}$ zu erhalten.[5]

1. Definieren der Geraden ${\displaystyle g}$:

Nach dem Einzeichnen des Inversionskreises ${\displaystyle k}$ um den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$, mit beliebigem Radius, wird der Kreisbogens ${\displaystyle b_{1}}$ um ${\displaystyle O}$ ebenfalls mit beliebigem Radius gezogen. Die anschließend auf ${\displaystyle b_{1}}$ mit beliebiger Position festgelegten Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ definieren die Gerade ${\displaystyle g}$.

2. Bestimmen des Punktes ${\displaystyle P}$ (Mitte der Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$):

Die Punkte ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle D}$ werden bestimmt mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$ um ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$, dies ermöglicht eine Gerade durch ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle D}$, sie steht senkrecht auf die Gerade ${\displaystyle g}$; Punkt ${\displaystyle E}$ entsteht mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$ um ${\displaystyle B}$ und Radius ${\displaystyle |{\overline {DC}}|}$ um ${\displaystyle D}$; die Punkte ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ werden bestimmt mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {EA}}|}$ um ${\displaystyle E}$ und Radius ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$ um ${\displaystyle A}$; nach einem Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {GA}}|}$ um ${\displaystyle G}$ und einem Kreisbogen mit gleicher Zirkelöffnung um ${\displaystyle F}$ ergibt sich der gesuchten Punkt ${\displaystyle P}$.

3. Der Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ des Inversionskreises ${\displaystyle k}$ an der Geraden ${\displaystyle g}$ gespiegelt ergibt einen Punkt ${\displaystyle M'}$:

Die Punkte ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle I}$ werden auf dem Inversionskreis ${\displaystyle k}$ mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {PO}}|}$ um ${\displaystyle P}$ bestimmt; Punkt ${\displaystyle J}$ erhält man mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {PO}}|}$ um ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle O}$; Punkt ${\displaystyle L}$ ergibt sich mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {PO}}|}$ um ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle J}$; je ein Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {PO}}|}$ um ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle L}$ liefert den gesuchten Punkt ${\displaystyle M'}$.

4. Der Punkt ${\displaystyle P}$ am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ gespiegelt ergibt einen Punkt ${\displaystyle P'}$ (Spiegelung eines Punktes):

Die beiden Kreisbögen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {HO}}|}$ um ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle I}$ liefern den gesuchten Punkt ${\displaystyle P'}$.

5. Dieser Punkt ${\displaystyle M'}$ am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ gespiegelt ergibt den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des Kreises ${\displaystyle g'}$ als Spiegelbild der Geraden ${\displaystyle g}$:

Der gezogene Kreisbogens ${\displaystyle b_{2}}$ um ${\displaystyle M'}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {M'O}}|}$ liefert die Punkte ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle N}$ auf dem Inversionskreis ${\displaystyle k}$. Nun bedarf es nur noch zweier Kreisbögen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {QO}}|}$ um Punkt ${\displaystyle Q}$ und Punkt ${\displaystyle N}$, somit ist der gesuchte Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ gefunden und der Kreis ${\displaystyle g'}$ kann abschließend mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {MO}}|}$ oder ${\displaystyle |{\overline {MP'}}|}$ gezogen werden.

In einer korrekten Konstruktion ergibt sich die Beziehung[5]

${\displaystyle |{\overline {OM}}|\cdot |{\overline {OM'}}|=|{\overline {OP}}|\cdot |{\overline {OP'}}|}$

Bild 7: Spiegelung eines Kreises, der Inversionskreis ${\displaystyle a}$ (dunkelblau) ist am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ (rot) gespiegelt, um den Kreis ${\displaystyle a'}$ (hellgrün) zu erhalten.
Die gestrichelten Tangenten (${\displaystyle t_{1},\;t_{2},\;}$dunkelblau) und die gepunkteten Linien haben keine konstruktive Funktion, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.
${\displaystyle |{\overline {OM}}|\cdot |{\overline {OO'}}|=|{\overline {OQ}}|\cdot |{\overline {OQ'}}|=r^{2}}$

Animation Bild 7:
Spiegelung eines Kreises in 16 Bildern

Aufgabe

(Siehe hierzu Bild 7)

Der Inversionskreis ${\displaystyle a}$ ist am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ zu spiegeln, um den Kreis ${\displaystyle a'}$ zu erhalten.[6]

1. Konstruktion des Mittelpunktes des Inversionskreises ${\displaystyle a}$ und dessen (imaginären)[7] Tangenten ${\displaystyle t_{1}}$ und ${\displaystyle t_{2}}$:

Nach dem Einzeichnen des Inversionskreises ${\displaystyle k}$ um den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ mit beliebigem Radius ${\displaystyle r}$ positioniert man den Punkt ${\displaystyle A}$ beliebig auf der Kreislinie, dies ermöglicht eine (imaginäre)[4] Gerade durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle O}$. Der Radius ${\displaystyle r}$ ist auf der Kreislinie viermal abzutragen, Schnittpunkte sind ${\displaystyle B,\;C,\;D}$ und ${\displaystyle E}$. Es folgt der Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle r}$ um Punkt ${\displaystyle D}$. Der Punkt ${\displaystyle F}$ ergibt sich mittels Radius ${\displaystyle r}$ um ${\displaystyle C}$; durch nochmaliges Abtragen des Radius ${\displaystyle r}$ um Punkt ${\displaystyle F}$ erhält man den Mittelpunkt ${\displaystyle G}$ des Inversionskreises ${\displaystyle a}$.

2. Der Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ des Inversionskreises ${\displaystyle k}$ an dem Inversionskreises ${\displaystyle a}$ gespiegelt ergibt einen Punkt ${\displaystyle O'}$ (Spiegelung eines Punktes):

Der eingezeichnete Inversionskreis ${\displaystyle a}$ erzeugt die Punkte ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle H}$. Dies ermöglicht jetzt die beiden Tangenten (blau gestrichelte Linien) ${\displaystyle t_{1}}$ und ${\displaystyle t_{2}}$ des Kreises ${\displaystyle a}$ mit dem Scheitel ${\displaystyle O}$ und den Berührpunkten ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle H}$ sowie die Gerade durch ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle H}$, sie steht senkrecht auf die Gerade durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle G}$. Die Punkte ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$ werden bestimmt mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {QH}}|}$ um ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle H}$; Punkt ${\displaystyle K}$ wird bestimmt mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {QH}}|}$ um ${\displaystyle H}$ und Radius ${\displaystyle |{\overline {IJ}}|}$ um ${\displaystyle I}$; die Punkte ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle N}$ entstehen mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {QH}}|}$ um ${\displaystyle Q}$ und Radius ${\displaystyle |{\overline {KQ}}|}$ um ${\displaystyle K}$; die beiden Kreisbögen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {LQ}}|}$ um ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle N}$ liefern den gesuchten Punkt ${\displaystyle O'}$ (Mitte der Strecke ${\displaystyle {\overline {QH}}}$).

3. Dieser Punkt ${\displaystyle O'}$ am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ gespiegelt ergibt den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des Kreises ${\displaystyle a'}$ als Spiegelbild des Inversionskreises ${\displaystyle a}$:

Die Punkte ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle R}$ werden bestimmt mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {QO}}|}$ um ${\displaystyle Q}$; die beiden Kreisbögen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {PO}}|}$ um ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle R}$ liefern den Punkt ${\displaystyle Q'}$. Die beiden Punkte ${\displaystyle S}$ und ${\displaystyle T}$ erzeugt der Radius ${\displaystyle |{\overline {O'O}}|}$ um ${\displaystyle O'}$. Nun bedarf es nur noch zweier Kreisbögen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {SO}}|}$ um Punkt ${\displaystyle S}$ und Punkt ${\displaystyle T}$. Somit ist der gesuchte Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ gefunden und der Kreis ${\displaystyle a'}$ kann abschließend mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {MQ'}}|}$ gezogen werden.

In einer korrekten Konstruktion ergibt sich die Beziehung[5]

${\displaystyle |{\overline {OM}}|\cdot |{\overline {OO'}}|=|{\overline {OQ}}|\cdot |{\overline {OQ'}}|=r^{2}}$

Es gibt mechanische Geräte, die speziell für die Inversion am Kreis konstruiert wurden, zum Beispiel den Inversor von Peaucellier.