Klassifizierender Raum von U(n)

Der klassifizierende Raum der -ten unitären Lie-Gruppe klassifiziert -Prinzipalbündel (auch -Hauptfaserbündel genannt). Das bedeutet, dass ein -Prinzipalbündel über einem parakompakten topologischen Raum eineindeutig einer Homotopieklasse einer stetigen Abbildung von diesem nach entspricht. ist selbst der Basisraum (eng. base space) eines -Prinzipalbündels, woraus sich die Notation ergibt.

Grundlegender Zusammenhang

Zur Erklärung des obigen Zusammenhangs ist ein weiterer Raum notwendig: Der totale Raum der -ten unitären Lie-Gruppe ist schwach zusammenziehbar[1] und verfügt über eine Gruppenwirkung von , wobei der Orbitraum genau ist. Durch Projektion auf Äquivalenzklassen gibt es daher das spezielle -Prinzipalbündel mit Faser , welches universelles -Hauptfaserbündel genannt wird. Jedes -Hauptfaserbündel auf einem parakompakten topologischen Raum lässt sich nun durch Rückzug von diesem entlang einer stetigen Abbildung erhalten, wobei homotope Abbildungen das gleiche -Prinzipalbündel erzeugen. Dadurch existiert eine Bijektion[2]:

Kleinster klassifizierender Raum

Es ist , wobei der unendliche komplexe projektive Raum ist und die -Sphäre ist. Beide entstehen jeweils als direkter/induktiver Limes der kanonischen Inklusionen beziehungsweise . Erstaunlicherweise ist die -Sphäre wie oben erwähnt tatsächlich schwach zusammenziehbar, sogar zusammenziehbar[3], obwohl keine der Sphären (schwach) zusammenziehbar ist.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Krl. 2.13. Abgerufen am 13. Juni 2023 (englisch).
  2. Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 29, Thrm. 1.16 mit Bemerkung am Anfang von S. 31 (cornell.edu [PDF]).
  3. Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 19, Aufgabe 16 (ohne Beweis) (cornell.edu [PDF]).
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