Pappos-Kette

Pappos-Kette im gespiegelten Arbelos

Ein Arbelos wird gebildet durch die drei Halbkreise über ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle AC}$ und ${\displaystyle CB}$ (sichelförmige Figur in der oberen Abbildung). Der Inkreis des Arbelos mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle P_{1}}$ ist der erste Kreis der Pappos-Kette, die weiteren (mit den Mittelpunkten ${\displaystyle P_{2}}$, ${\displaystyle P_{3}}$ u. s. f.) ergeben sich durch Aneinanderreihung von Kreisen, die den jeweils vorangehenden Kreis der Kette, den großen Halbkreis über ${\displaystyle AB}$ und einen der beiden kleineren Halbkreise berühren. In der Abbildung, auf die sich auch der weitere Text bezieht, ist das der linke Halbkreis über ${\displaystyle AC}$, die Kette hätte ebenso gut nach rechts (den Halbkreis über ${\displaystyle CB}$ berührend) fortgesetzt werden können.

Man kann die Pappos-Kette auch in einem an ${\displaystyle AB}$ gespiegelten Arbelos betrachten, dann wird der zum Kreis ergänzte Arbelos-Halbkreis, der nicht alle Kreise der Kette berührt (hier der über ${\displaystyle CB}$), zu einem Glied der Kette.

Fügt man in die entstehenden Kreisbogendreiecke weitere größtmögliche Kreise ein[2], entsteht eine Apollonios-Kreisfüllung.[1]

Konstruktion der Pappos-Kette mittels Kreisspiegelung

Die Pappos-Kette lässt sich durch Ausnutzung der Eigenschaften der Kreisspiegelung konstruieren[3], siehe Bild. Man beginnt mit drei Punkten A, B und C, die auf einer Geraden g liegen, auf der sich C zwischen A und B befindet. Die Senkrechte zur Geraden g in C schneidet den Kreis k um A durch B (rot) in H, und die dortige Tangente an den Kreis schneidet die Gerade g im Bildpunkt C' von C.

Der Kreis über AB (grün) wird durch Kreisspiegelung an k auf die Senkrechte zu g in B abgebildet (grün). Ebenso ist die Senkrechte zu g in C' (blau) Spiegelbild des Kreises mit Durchmesser AC (blau). Der Kreis über CB wird schließlich in den Kreis über BC' gespiegelt.

Zwischen die Senkrechten zu g in den Punkten B und C' fügt man weitere Kreise ein, die einander und diese Senkrechten berühren. Die Kreise der Pappos-Kette entstehen durch Kreisspiegelung dieser Kreise am Kreis k. Der Berührpunkt D' des Kreises über BC' mit dem darüberliegenden Kreis wird in einen Punkt D auf dem Kreis über CB gespiegelt. D ist einer der beiden Schnittpunkte von D'A mit dem Kreis über CB und es ist derjenige Schnittpunkt zu nehmen, der näher an A liegt. Der über dem Kreis mit Durchmesser BC' liegende Kreis durch D' berührt die Senkrechten zu g in E' bzw. G'. Deren Spiegelbilder E und G auf den Kreisen über AB bzw. AC sowie D geben drei Punkte, durch die der erste Pappos-Kreis geht und der somit als Umkreis des Dreiecks DEG konstruiert werden kann.

Die weiteren Kreise der Pappos-Kette werden analog konstruiert.

Abstand des Kreises 3 von der Arbelos-Grundlinie

Man nummeriere die Kreise der Pappos-Kette wie folgt: Der zum Kreis ergänzte Arbelos-Halbkreis über ${\displaystyle CB}$ erhält die Nummer 0, der Arbelos-Inkreis die Nummer 1 u. s. f. (entsprechend der Indizierung der Kreismittelpunkte ${\displaystyle P_{n}}$ in der oberen Abbildung), die Radien dieser Kreise bezeichne man mit ${\displaystyle r_{n}}$. Die Radien der beiden kleinen Arbelos-Halbkreise seien ${\displaystyle a={\overline {CB}}/2=r_{0}}$ und ${\displaystyle b={\overline {AC}}/2}$.

• Der Kreis mit der Nummer ${\displaystyle n}$ hat den Radius
  ${\displaystyle r_{n}={\frac {ab(a+b)}{n^{2}a^{2}+b(a+b)}}}$.
• Der Mittelpunkt ${\displaystyle P_{n}}$ des Kreises mit der Nummer ${\displaystyle n}$ hat den Abstand ${\displaystyle 2nr_{n}}$ von der Arbelos-Grundlinie ${\displaystyle AB}$. Die Abbildung rechts illustriert dies für den Kreis mit der Nummer 3.
• Die Mittelpunkte der Kreise der Pappos-Kette liegen auf einer Ellipse (gestrichelt in der oberen Abbildung). Die Brennpunkte dieser Ellipse sind die Mittelpunkte der Strecken ${\displaystyle AB}$ und ${\displaystyle AC}$.
• Die Punkte, in denen die Kreise der Pappos-Kette einander berühren, liegen auf einem Kreis.

• Steiner-Kette
• Buch der Lemmata

Commons: Pappus chain – Sammlung von Bildern

• Jürgen Köller: Pappus-Kette. Mathematische Basteleien.
• Walter Fendt: Die Pappos-Kette. (HTML5-App). HTML5-Apps zur Mathematik.

1. Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik. Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37611-5, S. 374, doi:10.1007/978-3-642-37612-2.
2. Floor van Lamoen, Eric W. Weisstein: Pappus Chain. In: MathWorld (englisch).
3. M. Holzapfel: Kreisketten. Abgerufen am 8. November 2023.