Parameterintegral

Es seien ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum, ${\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}$ ein Banachraum und ${\displaystyle f\colon X\times \Omega \to E}$. Für alle ${\displaystyle x\in X}$ sei ${\displaystyle \omega \mapsto f(x,\omega )}$ über ${\displaystyle \Omega }$ integrierbar bezüglich des Maßes ${\displaystyle \mu }$. Dann heißt ${\displaystyle F\colon X\to E}$

${\displaystyle F(x)=\int _{\Omega }f(x,\omega )\,\mu (\mathrm {d} \omega )}$

Parameterintegral mit dem Parameter ${\displaystyle x}$.

• Die Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma$ :(0,\infty )\to \mathbb {R} } ist definiert über das Parameterintegral

  ${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$.

• Betrachte den Maßraum ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu )}$ und ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}_{1}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu )}$. Dann ist die Funktion

  ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\mathbb {R} }1_{[a,x]}f\,\mathrm {d} \mu ,\quad a\in \mathbb {R} ,\quad x\geq a}$

  ein Parameterintegral. Aus dem Satz der majorisierten Konvergenz folgt, dass ${\displaystyle F}$ stetig ist (man beachte, dass dieses Integral nicht die Voraussetzungen des unten genannten Satzes erfüllt, da ${\displaystyle x\mapsto 1_{[0,x]}}$ nicht stetig ist). Gemäß dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Lebesgue-integrale ist ${\displaystyle F}$ sogar absolut stetig. Im Allgemeinen existiert allerdings kein ${\displaystyle \alpha >0}$, sodass ${\displaystyle F}$ für alle ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}_{1}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu )}$ lokal ${\displaystyle \alpha }$-Hölder stetig ist (was eine stärkere Stetigkeitseigenschaft wäre). Dafür betrachte man z. B. den Fall ${\displaystyle \mu =\lambda }$ (Lebesgue-Maß) und folgende Familie von (numerischen) Funktionen mit ${\displaystyle p\in (0,1)}$

  ${\displaystyle f_{p}(x)={\begin{cases}x^{p-1}&{\text{für }}x>0\\\infty &{\text{für }}x=0\end{cases}}}$.

  Diese Funktionen sind messbar, da sie auf ${\displaystyle (0,\infty )}$ stetig sind und ${\displaystyle f_{p}^{-1}(\{\infty \})=\{0\}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ist. Das Integral über ${\displaystyle [0,x]}$ und ${\displaystyle x\geq 0}$ entspricht hier dem uneigentlichen Riemann-Integral, sodass

  ${\displaystyle F_{p}(x)=\int _{0}^{x}f_{p}\,\mathrm {d} \lambda ={\frac {1}{p}}x^{p}}$.

  Im Punkt ${\displaystyle x=0}$ ist ${\displaystyle F_{p}}$ offensichtlich ${\displaystyle \alpha }$-Hölder stetig mit ${\displaystyle \alpha \leq p}$, aber da ${\displaystyle p}$ beliebig war, kann ${\displaystyle \alpha }$ nicht positiv sein.

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum, ${\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}$ ein Banachraum. Für eine Abbildung ${\displaystyle f\colon X\times \Omega \to E}$ gelte

• ${\displaystyle f(x,\cdot )\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)}$ für jedes ${\displaystyle x\in X}$,
• ${\displaystyle f(\cdot ,\omega )\in C(X,E)}$ (also stetig) für ${\displaystyle \mu }$-f.a. ${\displaystyle \omega \in \Omega }$,
• Es gibt ein ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu$ ;\mathbb {R} _{+})} mit ${\displaystyle \Vert f(x,\omega )\Vert \leqslant g(\omega )}$ für ${\displaystyle (x,\omega )\in X\times \Omega }$.

Dann ist

${\displaystyle F\colon X\to E,\ x\mapsto \int _{\Omega }f(x,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )}$

wohldefiniert und stetig.

Sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}$ offen, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum, ${\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}$ ein Banachraum. Für eine Abbildung ${\displaystyle f\colon U\times \Omega \to E}$ gelte

• ${\displaystyle f(u,\cdot )\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)}$ für jedes ${\displaystyle u\in U}$,
• ${\displaystyle f(\cdot ,\omega )\in C^{1}(U,E)}$ (also stetig differenzierbar) für ${\displaystyle \mu }$-f.a. ${\displaystyle \omega \in \Omega }$,
• Es gibt ein ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu$ ;\mathbb {R} _{+})} mit ${\displaystyle \Vert \partial _{u}f(u,\omega )\Vert \leqslant g(\omega )}$ für ${\displaystyle (u,\omega )\in U\times \Omega }$.

Dann ist

${\displaystyle F\colon U\to E,\ u\mapsto \int _{\Omega }f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )}$

stetig differenzierbar mit

${\displaystyle \partial _{j}F(u)=\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial u^{j}}}f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega ),\quad u\in U,\quad 1\leqslant j\leqslant d.}$

Unter geeigneten Voraussetzungen können also Differentiation nach einem Parameter und Integration vertauscht werden.

Folgender Spezialfall tritt manchmal auf: Sei

${\displaystyle F(t)=\int _{a(t)}^{b(t)}f(t,x)\mathrm {d} x,}$

wobei die Funktion ${\displaystyle f\colon (\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,x)}$, stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der ersten Variablen, ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}f\colon (\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R} }$ ist und ${\displaystyle a,b\colon (\alpha ,\beta )\to (c,d)}$ stetig differenzierbar sind. Dann ist ${\displaystyle F}$ auf dem offenen Intervall ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ stetig differenzierbar, mit

${\displaystyle F'(t)=f(t,b(t))b'(t)-f(t,a(t))a'(t)+\int _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x.}$

• Harro Heuser: Analysis 2. 9. Auflage, Teubner, 1995, ISBN 3-519-32232-3, S. 101ff.
• René L. Schilling: Measures, Integrals and Martingales 3. Auflage, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-61525-9, S. 92ff.