Reproduktivitätseigenschaft

Sind die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ unabhängig und normalverteilt mit

${\displaystyle X_{1}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1};\sigma _{1}^{2})\quad {\text{und}}\quad X_{2}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$,

so ist die Zufallsvariable ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$ ebenfalls normalverteilt mit

${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$.

Allgemein gilt: Aus ${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),\quad i=1,\ldots ,k}$ unabhängig folgt:[2]

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim {\mathcal {N}}\left(\sum \limits _{i=1}^{k}\mu _{i},\sum \limits _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\right)}$.

Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel ${\displaystyle X_{n},X_{m}}$ binomialverteilt mit Parametern ${\displaystyle n,m}$ und ${\displaystyle p}$, also ${\displaystyle X_{n}\sim B_{n,p}}$ und ${\displaystyle X_{m}\sim B_{m,p}}$, so ist ${\displaystyle (X_{n}+X_{m})\sim B_{n+m,p}}$. Für fixiertes ${\displaystyle p}$ ist also die Binomialverteilung ${\displaystyle B_{n,p}}$ reproduktiv bezüglich ${\displaystyle n}$. Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.

• Karl Mosler, Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2006. ISBN 978-3-540-27787-3.

1. Mosler, Schmid, Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 2006, S. 149
2. Mosler, Schmid, Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 2006, S. 151