Restriktion und Erweiterung der Skalare

Sei ${\displaystyle M}$ ein (linkes) ${\displaystyle B}$-Modul. Dann ist ${\displaystyle M}$ auch ein ${\displaystyle S}$-Modul durch die Wirkung ${\displaystyle \varphi :S\times M\to M}$

${\displaystyle \varphi$ :(s,m)\mapsto s\cdot m:=f(s)m.}

Man sagt, der ${\displaystyle S}$-Modul entstand durch Restriktion der Skalare. Wiederum definiert ${\displaystyle f}$ die Struktur eines ${\displaystyle S}$-Moduls auf ${\displaystyle B}$ mit[1]

${\displaystyle b\cdot s:=bf(s)}$.

Anders gesagt, der Funktor zwischen den Kategorien der ${\displaystyle S}$-Moduln und ${\displaystyle B}$-Moduln

${\displaystyle \operatorname {Res} _{B}^{S}:\operatorname {Mod} _{S}\to \operatorname {Mod} _{B}}$

wird Restriktion der Skalare genannt.

Sei ${\displaystyle M}$ nun ein ${\displaystyle S}$-Modul. Da ${\displaystyle B}$ auch ein ${\displaystyle S}$-Modul ist, ist auch das Tensorprodukt

${\displaystyle M_{B}:=B\otimes _{S}M}$

ein ${\displaystyle S}$-Modul. ${\displaystyle M_{B}}$ ist aber auch ein ${\displaystyle B}$-Modul durch die Wirkung ${\displaystyle \vartheta :B\times M_{B}\to M_{B}}$

${\displaystyle \vartheta$ :(b,b'\otimes x)\mapsto b(b'\otimes x)=bb'\otimes x.}

Man sagt, der ${\displaystyle M_{B}}$-Modul entstand durch Erweiterung der Skalare.[2]

Anders gesagt, der Funktor zwischen den Kategorien der ${\displaystyle B}$-Moduln und ${\displaystyle S}$-Moduln

${\displaystyle {\mathcal {E}}=(\cdot )\otimes _{B}S:\operatorname {Mod} _{B}\to \operatorname {Mod} _{S}}$

wird Erweiterung der Skalare genannt.[3]