Selbergs zentraler Grenzwertsatz

Selbergs zentraler Grenzwertsatz ist ein mathematischer Satz aus der stochastischen Zahlentheorie, welcher die Verteilung der riemannschen Zeta-Funktion auf der kritischen Gerade charakterisiert. Der Satz sagt im Wesentlichen, dass sich die Verteilung der Absolutwerte

|\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|

unter korrekter Normierung der Log-Normalverteilung annähert. Die stochastische Komponente kommt dabei von $t$ , welches man aus einem beliebigen aber großen Interval unter der Gleichverteilung zieht. Verzichtet man auf die Betragsstriche, so nähert sich die Verteilung der komplexen Log-Normalverteilung.

Das Theorem wurde 1946 in etwas anderer Form von Atle Selberg bewiesen. Er bewies eine leicht stärkere Aussage für das $k$ -te Moment von $\operatorname {arg} \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)$ , welche das Theorem für das Argument impliziert.[1][2] Die heutige Fassung stammt von Selberg und Tsang.[3]

Die Aussage benötigt die riemannsche Vermutung nicht.

Selbergs zentraler Grenzwertsatz

Notation:

${\mathcal {CN}}(0,1)$ ist die komplexe Standardnormalverteilung, das heißt ${\mathcal {CN}}(0,1)={\mathcal {N}}(0,1)+i{\mathcal {N}}(0,1).$
$\operatorname {Uni} ([T,2T])$ ist die stetige Gleichverteilung auf $[T,2T]$ .

Komplexe Variante des Theorems

Sei $T>0$ eine genügend große Zahl und $t\sim \operatorname {Uni} ([T,2T])$ . Definiere ${\displaystyle \sigma$ , dann konvergiert die Zufallsvariable ${\tfrac {1}{\sigma }}\log \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)$ in Verteilung zu einer komplexen Normalverteilung.

In Formeln:

{\frac {1}{\sigma }}\log \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)\xrightarrow {d} {\mathcal {CN}}(0,1),\quad T\to \infty .

Reelle Variante des Theorems

Aus der Beziehung

\log(s)=\log(|s|)+i\operatorname {arg} s

folgt insbesondere für den reellen Teil

{\frac {1}{\sigma }}\log |\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|\xrightarrow {d} {\mathcal {N}}(0,1)

und für den imaginären Teil

{\frac {1}{\sigma }}\operatorname {arg} \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)\xrightarrow {d} {\mathcal {N}}(0,1).

Erläuterungen

Die Zufallsvariable $|\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|$ nähert sich einer zentrierten Log-Normalverteilung mit ungefährer Log-Varianz

\sigma ^{2}\approx \left({\tfrac {1}{2}}\log \log T\right).

Entfernen von Log(0)

Der Satz gilt auch für die Zufallsvariable

{\frac {1}{\sigma }}S={\begin{cases}0&{\text{falls }}\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=0,\\{\frac {1}{\sigma }}\log \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)&{\text{sonst}}.\end{cases}}

Selbergs Variante für den k-ten Moment

Selberg bewies für positive ganzzahlige $k$ [4]

{\frac {1}{T}}\int _{T}^{2T}(\operatorname {arg} \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it))^{2k}\mathrm {d} t=2^{-2k}{\binom {2k}{k}}k!(\log \log T)^{k}+{\mathcal {O}}\left((\log \log T)^{k-{\tfrac {1}{2}}}\right).

Der Fall $\log |\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|$ wurde von Selberg auch untersucht und er lieferte eine Beweismöglichkeit, aber vollständig bewiesen wurde die Aussage für den Absolutwert erst 1984 durch Tsang.[3]

Selberg erkannte, dass dies die Momente einer zentrierten gaußschen Zufallsvariable sind, und folgerte daraus

{\frac {1}{T}}\lambda {\big (}\left\{0\leq t\leq T:{\tfrac {1}{\sigma }}\log |\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|\geq r\right\}{\big )}\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{r}^{\infty }e^{\frac {-u^{2}}{2}}\mathrm {d} u

wobei $\lambda$ das Lebesgue-Maß bezeichnet.

Literatur

Maksym Radziwiłł und Kannan Soundararajan: Selberg's central limit theorem for $\log |\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|$ . Hrsg.: arXiv. 2015, doi:10.48550/ARXIV.1509.06827, arxiv:1509.06827 [abs].
Ciprian Tudor: Multidimensional Selberg theorem and fluctuations of the zeta zeros via Malliavin calculus. Hrsg.: arXiv. 2016, doi:10.48550/ARXIV.1601.02515, arxiv:1601.02515 [abs].
Patrick Kühn: On Selberg’s central limit theorem. Hrsg.: ETH Zürich. 2011 (researchgate.net – Masterarbeit).
Terence Tao: Selberg’s limit theorem for the Riemann zeta function on the critical line. 2009, abgerufen am 7. August 2022 (Blog Artkel).

Einzelnachweise

Atle Selberg: Contributions to the theory of the Riemann zeta-function. In: Arch. Math. Naturvid. Band 48, Nr. 5, 1946, S. 89–155.
Ciprian Tudor: Multidimensional Selberg theorem and fluctuations of the zeta zeros via Malliavin calculus. Hrsg.: arXiv. 2016, doi:10.48550/ARXIV.1601.02515, arxiv:1601.02515 [abs].
Kai Man Tsang: The distribution of the values of the Riemann zeta-function. Hrsg.: Princeton University. Oktober 1984 (Doktorarbeit).
Patrick Kühn: On Selberg’s central limit theorem. Hrsg.: ETH Zürich. 2011, S. 7 (researchgate.net – Masterarbeit).

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[1] Atle Selberg: Contributions to the theory of the Riemann zeta-function. In: Arch. Math. Naturvid. Band 48, Nr. 5, 1946, S. 89–155.

[2] Ciprian Tudor: Multidimensional Selberg theorem and fluctuations of the zeta zeros via Malliavin calculus. Hrsg.: arXiv. 2016, doi:10.48550/ARXIV.1601.02515, arxiv:1601.02515 [abs].

[Tsang-3] Kai Man Tsang: The distribution of the values of the Riemann zeta-function. Hrsg.: Princeton University. Oktober 1984 (Doktorarbeit).

[4] Patrick Kühn: On Selberg’s central limit theorem. Hrsg.: ETH Zürich. 2011, S. 7 (researchgate.net – Masterarbeit).